Een bekende getallenrij is de rij van Fibonacci. Deze rij begint zo: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89. De rij start met twee enen en elk volgende getal krijg je door de twee voorgaande getallen bij elkaar op te tellen. Als we de quotiënten van twee opeenvolgende Fibonacci-getallen op een rij zetten, zien we iets opmerkelijks: 1/1 = 1; 2/1 = 2; 3/2 = 1,5; 5/3 ≈ 1,667; 8/5 = 1,6; 13/8 = 1,625; 21/13 ≈ 1,615; 34/21 ≈ 1,619; 55/34 ≈ 1,618; 89/55 ≈ 1,618. Deze quotiënten naderen een vaste waarde. Hoe verder je komt in de rij van Fibonacci, hoe dichter het quotiënt van twee opvolgende getallen in de buurt komt van het gulden-snede-getal. De exacte waarde van dit getal, meestal aangeduid met de Griekse letter φ, is (1 + √5)/2.
Men spreekt van een gulden snede als een afstand zodanig in twee ongelijke delen wordt verdeeld dat de verhouding van het kleinste tot het grootste deel dezelfde is als de verhouding van het grootste deel tot het geheel. Dus voor een lijnstuk dat volgens de gulden snede wordt verdeeld in een kort deel met lengte a en een lang deel met lengte b, geldt: a : b = b : ( a + b ).
Fibonacci in de muziek
De Hongaarse musicoloog Ernő Lendvai en de Amerikaan Edward Lowman hebben zich beziggehouden met het voorkomen van de Fibonacci-getallen in de werken van de Hongaarse componist Béla Bartók. Lendvai schreef een boek vol over zijn bevindingen: Béla Bartók: An Analysis of His Music (1971). Eerder al besteedde hij in een uitgebreid artikel aandacht aan Fibonacci en Bartók: ‘Einführung in die Formen- und Harmonienwelt Bartóks’ (1953). Lowman schreef een kort artikel in het tijdschrift The Fibonacci Quarterly: ‘Some Striking Proportions in the Music of Béla Bartók’ (1971).
Een van Bartóks composities waar Lendvai de Fibonacci-getallen in ontdekte, is Muziek voor snaarinstrumenten, slagwerk en celesta. Het eerste deel van dit werk bestaat uit 88 maten. Lendvai wilde daar kennelijk graag 89 maten van maken, omdat dat aantal maten dan zo mooi overeenstemt met het getal 89 in de rij van Fibonacci. Hij begint dus meteen al met het vervalsen van zijn metingen door uit te gaan van een door Bartók niet opgeschreven maat en die mee te tellen. Waarom mag Lendvai die niet bestaande maat meetellen? Omdat ‘Hans von Bülow dat ook bij Beethoven deed’ (iets waarover wij Hans von Bülow graag een paar kritische vragen zouden willen stellen).
_Luister naar het eerste deel van Bartóks Muziek voor snaarinstrumenten, slagwerk en celesta. De climax begint op tijdstip 06:06._
Een onderverdeling van de 89 maten
Lendvai maakt een onderverdeling van de 89 maten van het eerste deel van de Muziek voor snaarinstrumenten, slagwerk en celesta, waarmee hij laat zien dat zich ‘tal van gulden verhoudingen’ schuilhouden achter deze muziek.
De climax van het eerste deel vindt plaats aan het begin van maat 56; in het filmpje hierboven begint deze ‘fortessissimo-passage’ op tijdstip 06:06. Nu is 56 geen Fibonacci-getal, maar 55 wel. Lendvai spreekt daarom van een climax na 55 maten. Hier is op zichzelf niets op tegen. Hij verdeelt de 89 maten in twee secties: eerst 55, dan 34 (de ‘extra maat’ voegt hij dus aan het eind toe; niet aan het begin want dan klopt de theorie niet meer). Het eerste deel van de Muziek voor snaarinstrumenten, slagwerk en celesta wordt dus ‘precies’ bij het begin van de climax volgens de gulden snede in tweeën gedeeld.
Die eerste 55 maten van het stuk kunnen ook weer op een ‘mooie’ manier worden opgedeeld: de eerste 34 maten spelen de strijkers met sourdine, de volgende 21 maten zonder. Nog verder opdelen levert het volgende: de eerste 34 maten kunnen worden gesplitst in 21 en 13 maten, want de eerste 21 maten vormen precies de expositie van het stuk. De getallen 13, 21 en 34 zien we ook in de rij van Fibonacci.
Ook de laatste 34 maten (waaronder de niet-bestaande maat) kunnen in secties van 13 en 21 maten worden onderverdeeld: bij maat 69 worden de sourdines weer op de kam van de instrumenten gezet. De laatste 21 maten kunnen om onduidelijke redenen worden onderverdeeld in 13 en 8 maten, weer twee Fibonacci-getallen.
De 89 (88) maten van het eerste deel van Muziek voor snaarinstrumenten, slagwerk en celesta onderverdeeld in secties
Hierboven staat de indeling van Lendvai schematisch weergegeven. Op deze indeling valt wel het een en ander af te dingen. We geven een voorbeeld: volgens Lendvai spelen de strijkers de eerste 34 maten met sourdine, en vanaf maat 35 zonder sourdine. Dat hier gesjoemeld wordt, blijkt als we de partituur erbij pakken, zie onderstaande figuur. Bij ‘viool 1’ en ‘cello 1 en 2’ vermeldt Bartók inderdaad ‘senza sord.’ (zonder sourdine) bij het begin van maat 35. Maar bij ‘viool 2, 3 en 4’ staat deze aanwijzing al in maat 34 en bij ‘altviool 1 en 2’ zelfs aan het eind van maat 33. ‘Contrabas 1 en 2’ spelen tot en met maat 36 met sourdine; de mededeling ‘senza sord.’ meldt Bartók voor deze instrumentengroep pas aan het eind van maat 37.
De maat als eenheid
Naast de genoemde wankele feiten in Lendvais analyse, valt er nog een geheel andere kritische kanttekening te plaatsen. Lendvais hele betoog is gebaseerd op de verhouding van aantallen maten. Indien een compositie maatwisselingen bevat, levert deze eenheid een vertekend beeld. Lendvai beseft deze moeilijkheid terdege als hij schrijft: ‘der wechselnden Taktordnung wegen ist die Taktzahl nicht maßgebend.’ Gemeten moet worden met de kleinste ritmische eenheid van alle maten, zoals hij dat ook terecht doet door middel van de trioolachtste in het Divertimento voor strijkorkest.
Juist het eerste deel van Bartóks Muziek voor snaarinstrumenten, slagwerk en celesta is een klassiek voorbeeld van een wechselnde Taktordnung. Bartók gebruikt hier acht verschillende maatsoorten: 5/8, 6/8, 7/8, 8/8, 9/8, 10/8, 11/8 en 12/8. Tegen beter weten in toont Lendvai de aanwezigheid van de gulden snede aan door deze acht verschillende lengte-eenheden te behandelen alsof er sprake zou zijn van één eenheid, terwijl hij nota bene zelf terecht opmerkt dat je dit dat bij wisselende maatsoorten niet mag doen.
De kleinste ritmische eenheid
Hoe groot zijn de meetfouten in Lendvais analyse? In de figuur hieronder staat boven (nogmaals) de sectie-indeling in maten van Lendvai. Daaronder staan dezelfde secties, omgerekend in achtstenoten.
Boven: de secties in maten (Lendvai)
Onder: dezelfde secties omgerekend in achtstenoten (Admiraal)
De procentuele afwijking van de verhoudingen tussen de getallen in het onderste plaatje van de bovenstaande figuur ten opzichte van de gulden snede staan weergegeven in de volgende tabel:
De verhoudingen tussen de getallen in het onderste plaatje van de figuur hierboven vergeleken met de gulden snede
Als in plaats van de maat de achtstenoot als eenheid wordt genomen, wijken de verhoudingen tussen de door Lendvai gemaakte secties erg af van de ‘gulden verhouding’: de afwijkingen lopen uiteen van -7,7% tot +25,1%. De claim dat in Bartóks Muziek voor snaarinstrumenten, slagwerk en celesta sprake is van de gulden snede, mist daarom elke rekenkundige onderbouwing.
Vaak wordt de gulden snede in het werk van Bartók genoemd onder verwijzing naar de onderzoekingen van Ernő Lendvai. Zijn corrupte metingen zijn onder andere door de gerenommeerde muziekuitgeverij Bärenreiter gepubliceerd in een overigens zeer lezenswaardig boek met artikelen over Béla Bartók. Het daarin opgenomen artikel van Lendvai bevat een aantal interessante en inzichtbevorderende analyses van het harmonische systeem van Bartók en de structuur van zijn melodieën en akkoorden. Het is jammer dat het zo ernstig wordt ontsierd door deze blunder over de gulden snede.
