Wat ligt er meer voor de hand, dan het verschil tussen deze twee snaarlengten opnieuw in tweeën te gaan verdelen? Indien het een D-snaar is, zullen we met de halve snaar een d krijgen, en met driekwart van de snaar een G. Op een bepaalde manier mag G het midden heten tussen D en d. Daar de driekwart snaarlengte het rekenkundig of arithmetisch gemiddelde is van 1 en 1/2, werd G het 'arithmetische midden' van het octaaf D:d genoemd.
Zeer voor de hand ligt het ook, dat het verschil tussen de hele en de halve snaarlengte in drieën wordt gedeeld. Dat betekent dat er geluisterd wordt naar welke tonen er worden gespeeld met 1/2, of 3/6, met 4/6 (of 2/3), met 5/6 en met de hele snaarlengte. Door die tonen wordt het octaaf arithmetisch in drieën
gedeeld. Op de D-snaar zijn dit d:A:F:D. Het is duidelijk dat nu tussen F en d de toon A het arithmetische midden is, en dat tussen de tonen D en A de toon F het arithmetische midden is.
In wat tegenwoordig de kleine (terts)drieklank D:F:A heet is dus F het arithmetische midden van de kwint D:A. Op deze wijze kan de primitieve mens doorgaan. Zo kan hij bijvoorbeeld het stuk op de snaar tussen de helft (d) en tweederde (A) in drieën delen. Dan krijgt hij de snaarlengten 9/18 (of 1/2), 10/18 (of 5/9), 11/18 en 12/18 (of 2/3). Wij kunnen dat in ons notenschrift en met onze letters nog niet goed weergeven, maar het is een tamelijk verbreide toonopvolging, waarbij de kwart d:A arithmetisch in drieën gedeeld is.
Een andere wijze van delen, die de harmonische verdeling wordt genoemd, vindt een voorbeeld in de octaafverdeling D:A:d. De afstand, op de snaar gemeten, van D naar A (dat is 1 - 2/3 = 1/3 snaarlengte) staat in dezelfde verhouding tot de afstand van A naar d (dat is 2/3 - 1/2 = 1/6 snaarlengte) als de snaarlengte van D (dat is 1) tot de snaarlengte van d (dat is 1/2). Dit is minder primitief! De voorstelling kan echter vereenvoudigd worden, door aan de omgekeerden van de snaarlengten te denken. Dan beantwoordt aan D het omgekeerde van de snaarlengte 1/1 (= 1), en aan d beantwoordt het omgekeerde van de snaarlengte 1/2, dat is 1 : (1/2) = 2, en het gemiddelde van deze 1 en 2 is 1 1/2, dat is het omgekeerde van 2/3, en 2/3 is de snaarlengte die aan A beantwoordt. A heet het 'harmonische midden' tussen D en d.
Het octaaf kan nu harmonisch in drieën gedeeld worden. Dan moet de afstand van de 'omgekeerde' 1 en 2 in drieën gedeeld worden; dat geeft 1 (= 3/3), 4/3, 5/3 en 6/3 (= 2), en de corresponderende snaarlengten
zijn 1, 3/4, 3/5, 1/2, die beantwoorden aan D:G:B:d. Hier is G het harmonische midden tussen D en B, en B het harmonische midden tussen G en d. In de grote (terts)drieklank G:B:d is dus de kwint harmonisch middendoor gedeeld.
Toonfrequenties van de diatonische toonladder
c' 260,741 Hz
ces' 275 Hz
cis' 278,123 Hz
d' 293,333 Hz
es' 305,555 Hz
dis' 312,889 Hz
e' 325,926 Hz
f' 347,654 Hz
ges' 366,667 Hz
fis' 370,831 Hz
g' 391,111 Hz
as' 412,5 Hz
gis' 417,185 Hz
a' 440 Hz
bes' 458,333 Hz
ais' 469,333 Hz
b' 488,889 Hz
