Op één van zijn ochtendwandelingen liep Pythagoras langs een smederij en hoorde de verschillende klanken die hamers maakten als zij op het aambeeld sloegen. Pythagoras merkte op dat de hoogte van de toon met het gewicht van de hamer te maken had , en wel in verhoudingen van gehele getallen.
Terug thuis spande hij vier identieke snaren, en hing onder aan deze snaren gewichten. De zakken hadden een gewicht van 6, 8, 9 en 12 eenheden. Hij ontdekte dat de snaar met het zwaarste gewicht precies een octaaf hoger klonk dan de snaar met het minste gewicht, een verhouding dus van 2:1. Een kwint hoorde hij bij de snaren met een gewicht van 8 en 12 eenheden (3:2), en samen met de snaar met 9 eenheden gewicht hoorde hij een kwart (4:3).
Pythagoras maakte een 'snarenspanner', met daarin 4 snaren op spanning gezet volgens bovengenoemde verhoudingen. Het doel van dit instrument was een hulpmiddel te zijn in het leren herkennen van de intervallen. Een instrument dat door Pythagoras ontwikkeld zou zijn, is het monochord. Het bestaat uit 1 snaar, met een verplaatsbare kam.
Hierdoor kan de snaar in twee delen opgedeeld worden. Door de snaar in drieën te delen, en de kam op twee derde deel te plaatsen hoor je een rein octaaf. Als de snaar in vijven gedeeld wordt, en de kam op drie vijfde deel geplaatst wordt, klinkt een reine kwint.
Met behulp van deze basale verhoudingen bouwde Pythagoras de toonladder. Deze toonladder was al bekend, maar Pythagoras was de eerste die de wiskundige regelmaat herkende. Voor hem was dit een weerspiegeling van de harmonie der sferen. Pythagoras was de enige die deze harmonie kon horen.
“… [ het is de] allesomvattende samenzang van de sferen en de sterren die zich
daarlangs bewogen, een melodie, voller en vollediger dan de aardse. Haar geluid
wordt veroorzaakt door de zeer melodieuze en in menig opzicht allerschoonste beweging en kringloop die het resultaat is van ongelijke, op allerlei wijze verschillende
snelheden, sterkten en trillingstijden van klanken, die op elkaar afgestemd zijn in een
zeer muzikale verhoudingen.”
De muziek die Pythagoras maakt is een afspiegeling van dat wat hij hoort in de harmonie der sferen. Zij heeft door de eeuwen velen tot verdere studie van de harmonieën gedreven en evenzovele visies daarop opgeleverd. Maar: “Eén aspect verandert echter nooit: het belang van getalsverhoudingen en de representatie hiervan in de muziek.”
Pythagoras hoorde dat bij bepaalde verhoudingen van de gewichten aan de snaar de tonen die de snaren voortbrengen consonant klinken. Hij vond de kwint, het kwart en de octaaf als bouwstenen voor muziek. Maar waarom klinken deze tonen nu zo mooi samen?
Voor het octaaf is dit hedentendage relatief eenvoudig te zien: de frequentie van de toon een octaaf hoger is het dubbele van de originele frequentie. Als je een toon speelt, en je analyseert de toon (in het volgende hoofdstuk kom ik hier op terug), dan blijkt dat er meerdere frequenties te horen zijn. Deze frequenties zijn allemaal veelvouden van de grondfrequentie van de toon. Deze noemen we de boventonen van de grondtoon. Bij twee tonen die een octaaf van elkaar verschillen, is de hoogste toon, dus een boventoon van de onderste toon, waardoor ze mooi samen klinken. We ervaren dit dus eigenlijk als de zelfde toon, en dit verklaart waarom we dit “mooi” vinden.
Voor de verhouding 3:2 geldt dit ook iets dergelijks: een aantal boventonen komen overeen. Als de verhouding net niet 3:2 is, dan komen de boventonen niet overeen, en klinkt het interval dus dissonant of vals.
Door kwinten te stapelen wordt vervolgens een toonsysteem samengesteld. De pythagoreïsche toonladder verkrijg je door zeven kwinten te stapelen, en vervolgens ook al hun octaaftransposities te nemen. De frequentieverhouding tot de grondtoon verkrijg je door telkens de onderlinge verhoudingen met elkaar te vermenigvuldigen
Maar hoe kun je deze tonen nu weer vertalen naar de gestapelde kwinten? Ik neem als voorbeeld de d. Deze toon is eigenlijk een octaaftranspositie van de kwint die volgt op de g, ik noem deze toon even d'. De verhouding d' : g is dus 3 : 2. Maar nu kun je ook de verhouding d' : c uitrekenen:
